고체역학 (Solid Mechanics)¶

목차¶

정역학 및 강체역학 (Statics and Rigid Body Mechanics)
1.1. 정역학 개요 (Introduction to Statics)
1.2. 뉴턴의 운동법칙 (Newton's Law of Motion)
1.3. 벡터의 개념 (Vectors)
1.4. 돌림힘 (Moments)
1.5. 구조해석 (Structural Analysis)
1.6. 트러스 (Trusses)
재료역학 (Material Mechanics)
2.1. 응력과 변형률 (Stress and Strain)
2.2. 재료의 성질 (Mechanical Properties of Materials)
2.3. 파괴 (Fracture)
2.4. 피로 (Fatigue)
2.5. 크리프 (Creep)
변형체역학 (Deformable Body Mechanics)
3.1. 보의 분석 (Beam Analysis)
3.2. 좌굴 (Buckling)
3.3. 전단 흐름 (Shear Flow)
3.4. 보의 굽힘 (General Bending)
3.5. 응력 및 변형률 변환 (Stress and Strain Transformations)
3.6. 파손 이론 (Failures)
3.7. 응력과 변형률 고급 (Advanced Stress and Strain)
3.8. 에너지법 (Energy Method)
유한요소해석 (Finite Element Analysis)
4.1. 유한요소해석 개요 (Finite Element Analysis)

1. 정역학 및 강체역학 (Statics and Rigid Body Mechanics)¶

1.1. 정역학 개요 (Introduction to Statics)¶

고체(Solid)란?

고정된 형체를 가진 연속체(Continuum)이다.

정역학(Statics)이란?

정지해 있는 물체의 특성을 연구하는 물리학 과목.

강체(Rigid Body)와 변형체(Deformable Body)

강체(Rigid Body)란 어떤 힘을 받아도 절대로 변형이 일어나지 않는 물체이다.

변형체(Deformable Body)란 외부 힘에 의해 변형이 일어나는 물체이다.

1.2. 뉴턴의 운동법칙 (Newton's Law of Motion)¶

1.2.1. 기본 개념¶

제1법칙: 관성의 법칙 (Law of Inertia)

$$ \begin{align*} F = 0 \iff a = \frac{dv}{dt} = 0 \end{align*} $$

힘이 가해져 물체의 상태가 변하지 않는 한, 모든 물체는 정지해 있거나 등속직선운동을 하는 상태를 유지한다.

제2법칙: 가속도의 법칙 (Law of Acceleration)

$$ \begin{align*} F = \frac{dp}{dt} = m \frac{dv}{dt} = ma \end{align*} $$

운동의 변화는 가해진 힘에 비례하며, 그 힘이 가해지는 직선을 따라 이루어진다.

제3의법칙: 작용 반작용의 법칙 (Law of Action-Reaction)

$$ \begin{align*} F_{AB} = - F_{BA} \end{align*} $$

모든 작용에 대해 크기는 같고 방향은 반대인 반작용이 존재한다. 또는 두 물체의 서로에 대한 상호작용은 언제나 크기가 같고 방향이 반대이다.

1.2.2. 정적 평형¶

정역학에서의 뉴턴의 운동법칙

$$ \begin{align*} \sum \vec{F} = 0 \end{align*} $$

힘의 평형을 이루었을때 비로소 물체가 정지했다고 볼 수 있기 때문에 모든 정역학 문제는 정적 평형(Static Equilibrium)을 검증해야 한다.

1.3. 벡터의 개념 (Vectors)¶

1.3.1. 스칼라와 벡터¶

스칼라(Scalar)란?

방향(Direction)을 가지고 있지 않고 크기(Magnitude)만 가지고 있는 물리량

예시: 질량, 속도, 면적, 온도, 압력 등

벡터(Vector)란?

크기(Magnitude)와 방향(Direction)을 가진 물리량

예시: 속력, 힘, 돌림힘, 가속력

1.3.2. 벡터 연산¶

3차원 벡터 $\vec{A} = \{a_1, a_2, a_3\}$와 $\vec{B} = \{b_1, b_2, b_3\}$를 예로 들 것이다.

덧셈 (Addition)

$$ \begin{align*} \vec{A} + \vec{B} = \begin{Bmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ b_3 + b_3 \end{Bmatrix} \end{align*} $$

내적 (Dot Product)

$$ \begin{align*} \vec{A} \cdot \vec{B} = \lVert \vec{A} \rVert \lVert \vec{B} \rVert \cos \theta = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \end{align*} $$$$ \begin{align*} \theta = \cos^{-1} \left( \lVert \vec{A} \rVert \lVert \vec{B} \rVert \right) \end{align*} $$

외적, 크로스곱 (Cross Product)

$$ \begin{align*} \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \begin{Bmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{Bmatrix} \end{align*} $$

1.3.3. 2차원 벡터¶

X와 Y축의 평면에 올려진 2차원 힘 벡터 $\vec{F} = \{ F_{Rx}, F_{Ry} \}$가 있다.

합력 (Resultant Force)

$$ \begin{align*} F_R = \lVert \vec{F} \rVert = \sqrt{ F_{Rx}^2 + F_{Ry}^2 } \end{align*} $$

방향 (Direction)

$$ \begin{align*} \theta = \tan^{-1} \left( \frac{ F_{Ry} }{ F_{Rx} } \right) \end{align*} $$

1.3.4. 3차원 벡터¶

X, Y, Z축의 공간에 올려진 3차원 힘 벡터 $\vec{F} = \{ F_{Rx}, F_{Ry}, F_{Rz} \}$가 있다.

합력 (Resultant Force)

$$ \begin{align*} F_R = \lVert \vec{F} \rVert = \sqrt{ F_{Rx}^2 + F_{Ry}^2 + F_{Rz}^2 } \end{align*} $$

방향 (Direction)

$$ \begin{align*} \cos \alpha = \frac{F_Rx}{F_R} && \cos \beta = \frac{F_Ry}{F_R} && \cos \gamma = \frac{F_Rz}{F_R} \end{align*} $$

1.4. 돌림힘 (Moments)¶

1.4.1. 기본 개념¶

돌림힘(Moments)란?

돌림힘(Moments) 또는 토크(Torque)란 물체가 회전운동을 할 때 나타는 회전의 경향의 척도이다.

$$ \begin{align*} \vec{M_O} = \vec{r} \times \vec{F} \end{align*} $$

$\vec{M_O}$는 기준점 O에 대한 돌림힘 벡터 $\text{[N.m]}$

$\vec{r}$은 기준점 O로 부터 힘 벡터까지의 거리 $\text{[m]}$
$\vec{F}$는 $\vec{r}$과 직교되는 힘 벡터 $\text{[N]}$

1.4.2. 오른손 법칙 (Right Hand Rule)¶

오른손 법칙 (Right Hand Rule)

오른손의 엄지는 해당 회전 축의 양의 방향(Positive Direction)과 일치할 때, 나머지 손가락들의 말린 방향이 회전 뱡향을 의미한다.

따라서 2차원 상에서의 돌림힘은 Z축을 기준으로 돌기에 음의 돌림힘은 시계방향으로, 양의 돌림힘은 반시계방향으로 돈다.

1.4.3. 돌림힘과 정역학적 평형¶

정적 평형(Static Equilibrium)을 이룰려면 모든 힘의 합과 돌림힘의 합이 0이 되어야한다.

2차원의 경우,

$$ \begin{align*} \sum F_x = 0 && \sum F_y = 0 && \sum M_z = 0 \end{align*} $$

3차원의 경우,

$$ \begin{align*} \sum \vec{F} = 0 && \sum \vec{M_O} = 0 \end{align*} $$

각 축에 대한 양의 방향은 X축은 오른쪽, Y축은 위쪽, Z축은 화면 밖을 가리킨다. 따라서 2차원상의 돌림힘은 반시계방향이 양의 방향이다.

물체자유도(FBD)를 그려 문제를 풀 경우 반드시 언급된 방향을 명시해줘야 한다.

1.5. 구조해석 (Structural Analysis)¶

1.5.1. 반력 (Reaction Forces)¶

반력이란?

가해지는 힘에 반대방향으로 저항하는 힘이다.

보(Beam)의 구조를 표현할 때 위에 표현된 도식을 활용한다.

이동 지점 (Roller Support)

롤러 지점는 상하로 작용하는 힘에 대해서만 저항한다. 횡이동과 축에 대한 회전은 가능하다.

$$ \begin{align*} \sum F_y = 0 \end{align*} $$

회전 지점 (Pin Support)

핀 지점은 상하좌우 두 방향에 작용하는 힘에 대해서만 저항한다. 축에 대한 회전은 가능하다.

$$ \begin{align*} \sum F_y = 0 && \sum F_x = 0 \end{align*} $$

고정 지점 (Fixed Support)

고정 지점은 모든 방향에 있는 힘과 돌림힘에 저항한다.

$$ \begin{align*} \sum F_y = 0 && \sum F_x = 0 && \sum M_z = 0 \end{align*} $$

1.5.2. 하중 (Loads)¶

집중 하중 (Point Load)

집중 하중은 구조물에 대하여 한 부분에 집중된 힘을 의미한다. 화살표 하나로 표기한다.

분산 하중 (Distributed Load)

분산 하중은 구조물에 대하여 길이 또는 면적에 따라 분산된 힘을 의미한다. 여러개의 연결된 화살표로 표기한다.

$$ \begin{align*} P = \int_0^L w(x) \; dx \end{align*} $$

$P$는 총 하중 힘값 $\text{[N]}$

$L$은 분산 하중이 적용되는 길이 $\text{[m]}$
$w(x)$는 분산 하중 함수 $\text{[N/m]}$

분산 하중의 총 힘값은 하중 함수에 대하여 해당되는 길이 또는 면적을 적분한 값으로 계산된다.

분산 하중의 치환

균일 분산 하중(Uniformly Distributed Load)은 직사각형의 형태로 표기되있으며 총 하중은 직사각형의 면적인 $P = wL$ 이다. 점 하중으로 치환 시 힘이 적용되는 점의 위치는 직사각형 길이의 절반 지점인 $L/2$ 이다.

삼각 분산 하중(Triangular Distributed Load)은 직각삼각형의 형태로 표기되있으며 총 하중은 직각삼각형의 면적인 $P = wL / 2$ 이다. 점 하중으로 치환 시 힘이 적용되는 점의 위치는 직각삼각형의 밑변으로부터 1/3 지점인 $L/3$ 이다.

1.6. 트러스 (Trusses)¶

1.6.1. 기본 개념¶

트러스(Truss)란?

트러스(Truss)는 직선 부재(Member)와 핀 절점(Pin-Joint)을 사용하여 연결된 구조물을 의미하며 하중을 여러개의 직선 부재로 분산시켜 더 큰 하중을 견디도록 설계한다.

직선 부재의 내력(Internal Force)가 바깥 방향을 향하는 인장힘(Tension Force)은 양수이고 안쪽 방향을 향하는 압축힘(Compression Force)은 음수로 표현한다.

1.6.2. 절점법 (Method of Joints)¶

절점법은 트러스의 부재력을 하나하나 구해나가는 방법이다.

계산 절차:

트러스 전체의 반력(Support Reactions)을 구한다.
절점에 연결된 부재가 2개 이하인 곳부터 고립시킨다.
고립된 절점의 자유물체도(FBD)를 그린다.
X와 Y축에 대한 정적 평형 방정식을 도입해 각 부재에 대한 내력을 구한다.

$$ \begin{align*} \sum F_x = 0 && \sum F_y = 0 \end{align*} $$

1.6.3. 단면법 (Method of Sections)¶

단면법은 특정 부재의 부재력만 구할 때 주로 사용된다.

계산 절차:

트러스 전체의 반력(Suppor Reactions)을 구한다.
구하고자 하는 부재 영역을 자른다. 단, 미지 부재력의 개수는 3개 이하여야 한다.
자른 영역의 자유물체도(FBD)를 그린다.
3개의 평형 방정식을 이용해 미지 부재력을 구한다.

$$ \begin{align*} \sum F_x = 0 && \sum F_y = 0 && \sum M_{point} = 0 \end{align*} $$

2. 재료역학 (Material Mechanics)¶

2.1. 응력과 변형률 (Stress and Strain)¶

2.1.1. 응력 개념¶

응력(Stress)이란?

응력(Stress)는 외력을 가할 때 변형된 물체 내부에 발생하는 단위 면정당 힘을 의미한다. 2차 텐서로 표현된다.

$$ \begin{align*} [\sigma] = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} \end{align*} $$

응력은 세가지 종류가 있다.

인장/압축 응력 (Tensile/Compressive Stress, Normal Stress)
전단 응력 (Shear Stress)
비틀림 응력 (Torsion Stress)

2.1.2. 인장/압축 응력 (Tensile/Compressive Stress, Normal Stress)¶

인장/압축 응력 (Tensile/Compressive Stress, Normal Stress)

인장 응력(Tensile Stress)은 어떤 재료의 단면에서 수직방향으로 잡아당기는 힘에 의한 양(+)의 응력이다.

압축 응력(Compressive Stress)은 어떤 재료의 단면에서 수직방향으로 밀어넣는 힘에 의한 음(-)의 응력이다.

응력은 단위 면적당 힘을 의미한다.

$$ \begin{align*} \sigma = \frac{P}{A} \end{align*} $$

$\sigma$는 응력 $[\text{N}/\text{m}^2] = [\text{Pa}]$

$P$는 단면에서 수직방향으로 작용하는 힘 $\text{[N]}$
$A$는 단면의 면적 $[\text{m}^2]$

인장/압축 응력은 텐서 요소중 $\sigma_{xx}$, $\sigma_{yy}$, $\sigma_{zz}$로 표기된다.

2.1.3. 전단 응력 (Shear Stress)¶

전단 응력 (Shear Stress)

전단 응력(Shear Stress)은 어떤 재료의 면에 접촉하는 방향으로 작용하는 힘에 반대 방향으로 저항하는 응력이다. 단면에 횡방향으로 찢기는 힘에 의해 발생한다.

전단 응력은 단위 면적당 전단력(Shear Force)를 의미한다.

$$ \begin{align*} \tau = \frac{V}{A} \end{align*} $$

$\tau$는 전단 응력 $[\text{N}/\text{m}^2] = [\text{Pa}]$

$V$는 단면의 접촉하는 방향으로 작용하는 전단력 $\text{[N]}$
$A$는 단면의 면적 $[\text{m}^2]$

전단 응력은 텐서 요소중 $\tau_{xy} = \sigma_{xy}$, $\tau_{xz} = \sigma_{xz}$, $\tau_{yz} = \sigma_{yz}$로 표기된다. 또한, 대부분의 경우 전단 응력은 각 평면에 대칭되며 응력 텐서는 대칭적(Diagonally Symmetric)이다.

2.1.4. 비틀림 응력 (Torsion Stress)¶

비틀림 응력 (Torsion Stress)

비틀림 응력 (Torsion Stress)*은 원통의 회전축을 기준으로 회전하는 돌림힘에 대한 저항 응력이며 전단 응력의 일종이다.

$$ \begin{align*} \tau = \frac{T \rho}{J} \end{align*} $$

$T$는 토크 또는 돌림힘 $\text{[N.m]}$

$\rho$는 회전축으로부터의 거리 $\text{[m]}$
$J$는 극관성모멘트 $[\text{m}^4]$

원통형 튜브형태의 단면의 극관성모멘트:

$$ \begin{align*} J = \frac{\pi}{2} \left( r_o^4 - r_i^4 \right) \end{align*} $$

2.1.5. 변형률 개념¶

변형률(Strain)이란?

변형률(Strain)은 응력에 의한 재료 외형의 변화를 본래의 외형 대비 변형된 외형을 비로 나타낸 비율이다. 변형률 또한 응력과 같이 2차 텐서로 이루어져있다.

$$ \begin{align*} [\epsilon] = \begin{bmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz} \end{bmatrix} \end{align*} $$

변형률은 세가지 종류가 있다. 각각은 각 응력에 대응한다.

신율 (Elongation, Normal Strain) <-> 인장/압축 응력
전단 변형률 (Shear Strain) <-> 전단 응력
비틀림각 (Angle of Twist) <-> 비틀림 응력

2.1.6. 신율 (Elongation, Normal Strain)¶

신율 (Elongation, Normal Strain)

신율(Elongation)은 인장/압축 응력에 대응하는 길이의 변형률을 의미한다.

$$ \begin{align*} \epsilon = \frac{\delta}{L_o} = \frac{L - L_o}{L_o} \end{align*} $$

$\epsilon$은 변형률 $\text{[mm/mm]}$

$L$은 변화 후 길이 $\text{[m]}$
$L_o$은 변화 전 길이 $\text{[m]}$

신율은 텐서 요소중 $\epsilon_{xx}$, $\epsilon_{yy}$, $\epsilon_{zz}$로 표기된다.

$\delta$는 변형 전과 후의 길이 차인 변위를 뜻하며, 단면의 면적과 작용되는 수직힘에 따라 변한다.

$$ \begin{align*} \delta = \int_0^L \frac{N(x)}{A(x) \cdot E} \; dx = \sum \frac{NL}{AE} \end{align*} $$

$\delta$는 변형 전과 후의 길이 차인 변위 $\text{[m]}$

$L$은 기준점으로부터의 길이 $\text{[m]}$
$N(x)$는 길이에 따른 수직힘 함수 $\text{[N]}$
$A(x)$는 길이에 따른 단면적 함수 $[\text{m}^2]$
$E$는 탄성 계수 $\text{[MPa]}$

또한, 이 변위는 온도에 따라서 팽창과 수축을 하며 바뀔 수도 있다.

$$ \begin{align*} \delta_T = \alpha \Delta T L \end{align*} $$

$\alpha$는 온도와 변위의 비율

$\Delta T$는 기준온도와의 차이

2.1.7. 전단 변형률 (Shear Strain)¶

전단 변형률 (Shear Strain)

전단 변형률(Shear Strain)은 전단 응력에 대응하는 외형의 비틀림각이다.

$$ \begin{align*} \gamma = \tan^{-1} \left( \frac{\delta_s}{L_o} \right) \approx \frac{\delta_s}{L_o} = \frac{\pi}{2} - \theta \end{align*} $$

$\gamma$는 전단 변형률 $\text{[rad]}$

$\delta_s$는 횡밀림 거리 $\text{[m]}$
$L_o$는 옆변의 길이 $\text{[m]}$

변형된 각은 매우 작은 각이므로 삼각함수 근사를 통해 분수 형태로 간단하게 치환이 가능하다.

위 제시된 사진에 의하면,

$$ \begin{align*} \text{If} \quad \theta < \frac{\pi}{2}, \quad \text{then} \quad \gamma > 0 \\ \text{If} \quad \theta > \frac{\pi}{2}, \quad \text{then} \quad \gamma < 0 \end{align*} $$

또한, $\gamma_{xy} = 2 \epsilon_{xy}$, $\gamma_{xz} = 2 \epsilon_{xz}$, $\gamma_{yz} = 2 \epsilon_{yz}$

2.1.8. 비틀림각 (Angle of Twist)¶

비틀림각 (Angle of Twist)

비틀림각(Angle of Twist)는 원통형 물체의 회전축으로 돌림힘 또는 토크를 받아 비틀어진 각도를 의미한다.

$$ \begin{align*} \phi = \int_0^L \frac{T(x)}{J(x) \cdot G} \; dx = \sum \frac{TL}{JG} \end{align*} $$

$\phi$는 기준점에서 해당 단면의 비틀림각 $\text{[rad]}$

$L$은 기준점에서 해당 단면까지의 길이 $\text{[m]}$
$T(x)$는 원통을 따라 적용된 돌림힘 함수 $\text{[N.m]}$
$J(x)$는 원통을 따라 적용된 극관성모멘트 함수 $[\text{m}^4]$
$G$는 전단 계수 $\text{[GPa]}$

2.2. 재료의 성질 (Mechanical Properties of Materials)¶

2.2.1. 탄성 계수 (Modulus of Elasticity)¶

탄성 계수 (Modulus of Elasticity)

탄성 계수(Modulus of Elasticity)는 물체 내부의 저항 응력을 발생시키며 변형되는 정도의 비율이며 고유한 재료 물성치이다. 영의 계수(Young's Modulus)라고도 불리운다.

$$ \begin{align*} E = \frac{\sigma}{\epsilon} \end{align*} $$

$E$는 탄성 계수 $\text{[MPa]}$

탄성 계수가 높은 경우 물질이 많은 힘을 받아도 잘 변형되지 않는다.

후크 법칙(Hooke's Law)을 활용한 유도

후크 법칙(Hooke's Law)에 따라 잡아당기는 힘, $F$, 가 물체에 가해지면 용수철처럼 $\delta$만큼 늘어난다.

$$ \begin{align*} F = k \delta && \Longrightarrow && \sigma = \frac{F}{A} = \frac{k \delta}{A} = E \epsilon && \Longrightarrow && E = \frac{k \delta}{\epsilon A} \end{align*} $$

2.2.2. 응력-변형률 곡선 (Stress-Strain Curve)¶

응력-변형률 곡선 (Stress-Strain Curve)

응력-변형률 곡선(Stress-Strain Curve)은 인장 시험(Tensile Test)를 통하여 실험적으로 구해지며 물질의 탄성 성질을 파악하는 중요한 도구로 쓰인다.

우선 물질이 인장력을 받으면 그 늘어나는 길이에 맞게 모양이 변형된다. 그 변형되는 행태에 따라 탄성 영역(Elastic Region)과 소성 영역(Plastic Region)이 나뉘어 진다.

탄성 영역 (Elastic Region)

탄성 영역 (Elastic Region)에서는 물체가 인장력을 받아 늘어났다가 그 힘이 없어지면 다시 원래 형태로 돌아오는 구간을 의미한다.

탄성이란 물체가 다시 원상 복귀되는 성질을 말하므로 인장력을 제거하게 되면 탄성 영역에서 샘플 곡선이 상승했다가 다시 원점으로 돌아간다. 탄성 영역의 경우 곡선은 선형을 보이며 여기서 구해지는 선의 기울기로 탄성 계수를 측정한다.

탄성 영역 용어 설명:

탄성 한계 (Proportional Limit, $\sigma_{pl}$): 곡선이 선형을 이루는 구간의 끝
항복 응력 (Yield Stress or Tensile Strength, $\sigma_Y$): 탄성 영역에서 물체가 버틸 수 있는 가장 큰 힘; 실험을 통해 얻어지는 값이므로 탄성 구간의 선 기울기만큼의 선을 탄성 구간에서 발생한 최대 변형률의 0.2%만큼 또는 눈에 띄는 소성을 한 만큼 우측으로 평행이동 시켜 이후 실행되는 샘플 곡선의 교차점으로 구해진다; 대부분의 경우 이 응력점을 기준으로 설계한다.
리질리언스 (Resilience, $U_r$): 탄성 영역에서 물질이 버틸 수 있는 최대 에너지값; 항복 응력 지점까지의 응력을 적분하여 구한다.

소성 영역 (Plastic Region)

소성 영역 (Plastic Region)에서는 물체에 받는 인장력을 없애도 물체 변형이 원상 복구되지 않는다.

소성 영역의 경우 물체에 가해지는 인장력이 사라지면 그 물체는 탄성 구간의 선 기울기만큼 하강하며 원점에서 응력이 0이어도 원점에서 멀어진 곡선을 볼 수 있다.

소성 영역 용어 설명:

항복 (Yielding): 물체가 소성 변형되고 있는 구간; 해당 구간의 경우 힘을 더 가하지 않아도 물체가 늘어난다.
변형률 경화 (Strain Hardening): 물체의 성질이 변형되어 다시 힘을 받아야 물체가 늘어나는 구간
극한 응력 (Ultimate Stress or Ultimate Tensile Strength, $\sigma_{u}$ or $\sigma_{UTS}$): 물체가 가장 극한까지 저항할때 발생되는 응력
네킹 현상 (Necking): 극한의 힘을 받은 물체가 저항력을 잃고 약한 부분부터 엿가락처럼 늘어나는 구간
파괴 (Fracture): 물체가 더이상의 힘을 견디지 못하고 끊어지는 지점; 네킹 현상에 의해 힘을 받는 단면적이 작아지므로 실제 파괴 지점은 더 높은 응력을 받는 지점에 있다.
인성 (Toughness, $U_T$): 물질이 끝까지 버틸 수 있는 최대 에너지값; 파괴 지점까지의 응력을 적분하여 구한다.
연성 (Ductility): 파괴 지점까지의 변형률

재료마다 특성이 다르며 응력-변형률 곡선 또한 눈에 띄게 다르다.

위 제시된 그래프에 의하면,

인성 (Toughness): 금속 > 세라믹 또는 폴리머
탄성 계수 (Modulus of Elasticity): 세라믹 > 금속 > 폴리머
연성 (Ductility): 폴리머 > 금속 > 세라믹

세라믹의 경우 취성(Brittleness)가 높으며 잘 변형되지 않고 깨져버리는 특성이 있다. 폴리머는 네킹 현상이 아주 길게 나타난다.

2.2.3. 전단 계수 (Shear Modulus of Elasticity)¶

전단 계수 (Shear Modulus of Elasticity)

전단 계수 (Shear Modulus of Elasticity)는 전단 응력 또는 비틀림 응력을 받은 물체가 기울어지는만큼 변형되는 정도의 비율이다. 탄성 계수와 특성이 비슷하며 또한 고유한 물성치이다.

$$ \begin{align*} G = \frac{\tau}{\gamma} \end{align*} $$

$G$는 전단 계수 $\text{[GPa]}$

2.2.4. 포아송 비 (Poisson's Ratio)¶

포아송 비 (Poisson's Ratio)

포아송 비 (Poisson's Ratio)는 재료가 수직방향으로 인장력을 경험할 때 길이는 늘어나지만 두께가 얇아지는 만큼을 설명한다. 등방성(Isotropic) 물질에 사용되며 종방향 변형률은 횡방향 변형율에 반비례하므로 앞에 음의 부호(-)가 붙는다.

$$ \begin{align*} \nu = - \frac{\epsilon_{lat}}{\epsilon_{long}} \end{align*} $$

$\epsilon_{lat}$은 횡방향 변형률

$\epsilon_{long}$은 종방향 변형률

탄성 계수와 전단 계수의 관계

$$ \begin{align*} G = \frac{E}{ 2 ( 1 + \nu ) } \end{align*} $$

이론적 최대값은 0.5이며 부피의 변화가 없는 변형을 한다. 예로 고무가 있다.

등방성 물질 (Isotropic Material)

등방성 물질 (Isotropic Material)은 모든 방향으로 물성치가 일정한 물질을 말한다. 포아송 비는 등방성 물질에 해당되는 물성치이다.

2.2.5. 후크의 법칙 (Generalized Hooke's Law)¶

후크의 법칙 (Generalized Hooke's Law)

후크의 법칙 (Generalized Hooke's Law)은 등방성 물체의 변형률과 3차원 응력의 관계를 중첩의 원리로 나타낸다.

$$ \begin{align*} \varepsilon_{xx} = \frac{1}{E} \left[\sigma_{xx} - \nu (\sigma_{yy} + \sigma_{zz}) \right] && \Longrightarrow && \sigma_{xx} = \frac{E}{1+\nu} \left[ \epsilon_{xx} + \frac{\nu}{1-2\nu} \left( \epsilon_{xx} + \epsilon_{yy} + \epsilon_{zz} \right) \right] \\ \varepsilon_{yy} = \frac{1}{E} \left[\sigma_{yy} - \nu (\sigma_{xx} + \sigma_{zz}) \right] && \Longrightarrow && \sigma_{yy} = \frac{E}{1+\nu} \left[ \epsilon_{yy} + \frac{\nu}{1-2\nu} \left( \epsilon_{xx} + \epsilon_{yy} + \epsilon_{zz} \right) \right] \\ \varepsilon_{zz} = \frac{1}{E} \left[\sigma_{zz} - \nu (\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) \right] && \Longrightarrow && \sigma_{zz} = \frac{E}{1+\nu} \left[ \epsilon_{zz} + \frac{\nu}{1-2\nu} \left( \epsilon_{xx} + \epsilon_{yy} + \epsilon_{zz} \right) \right] \\ \gamma_{xy} = \frac{\tau_{xy}}{G} && \Longrightarrow && \tau_{xy} = G \gamma_{xy} \\ \gamma_{yz} = \frac{\tau_{yz}}{G} && \Longrightarrow && \tau_{yz} = G \gamma_{yz} \\ \gamma_{zx} = \frac{\tau_{zx}}{G} && \Longrightarrow && \tau_{zx} = G \gamma_{zx} \end{align*} $$

2.2.6. 라메 상수 (Lamé Parameters)¶

라메 상수 (Lamé Parameters)

라메 상수(Lamé Parameters)는 등방성 물질의 체적 탄성을 설명하기 위해 만들어졌다. 상수는 두가지가 있다.

제1 라메 상수

$$ \begin{align*} \lambda = \frac{ E \nu }{ (1 + \nu)(1 - 2\nu) } \end{align*} $$

$\lambda$는 제1 라메 상수 $\text{[Pa]}$

제2 라메 상수

$$ \begin{align*} \mu = G \end{align*} $$

$\mu$는 제2 라메 상수 $\text{[Pa]}$

이 두가지 상수로 포아송 비를 다시 표현할 수 있다.

$$ \begin{align*} \nu = \frac{\lambda}{ 2 (\lambda + \nu) } \end{align*} $$

2.2.7. 체적 변형률 (Volume Strain)¶

체적 변형률 (Volume Strain)

체적 변형률(Volume Strain)은 물체가 외부에서 가해진 힘에 의해 체적(부피)이 변화할 때 나타나는 변형률을 의미한다. 이는 물체가 압축되거나 팽창할 때의 상대적인 체적 변화량을 나타내는 척도이다.

$$ \begin{align*} \epsilon_V = \frac{\Delta V}{V_o} = \frac{ V - V_o }{V_o} \end{align*} $$

$\epsilon_V$는 체적 변형률 $[\text{mm}^3/\text{mm}^3]$

$V$는 변형 후 부피 $[\text{m}^3]$
$V_o$는 변형 전 부피 $[\text{m}^3]$

등방성 물체의 체적 변형률은 3차원 방향의 변형률을 중첩할 수 있다.

$$ \begin{align*} \epsilon_V = \epsilon_{xx} + \epsilon_{yy} + \epsilon_{zz} = \frac{ 1 - 2\nu }{E} \left( \sigma_{xx} + \sigma_{yy} + \sigma_{zz} \right) \end{align*} $$

2.2.8. 체적 탄성 계수 (Bulk Modulus of Elasticity)¶

체적 탄성 계수 (Bulk Modulus)

체적 탄성 계수 (Bulk Modulus)는 물체가 외부의 압력을 받아 부피가 변할 때, 그 변화에 저항하는 탄성력을 나타내는 척도이다. 또는 압축성을 나타낸다.

$$ \begin{align*} K = \frac{\sigma_{ave}}{\epsilon_V} = \lambda + \frac{2}{3} \mu = \frac{E}{ 3(1 - 2\nu) } \quad \text{where} \quad \sigma_{ave} = \frac{1}{3} \left( \sigma_{xx} + \sigma_{yy} + \sigma_{zz} \right) \end{align*} $$

$K$는 체적 탄성 계수 $\text{[MPa]}$

$\sigma_{ave}$는 평균 응력 $\text{[Pa]}$

2.3. 파괴 (Fracture)¶

2.3.1. 파괴 개념¶

파괴(Fracture)란?

파괴(Fracture)는 물체가 소성변형을 거쳐 재료 극한의 변형 에너지를 견디지못해 파단(Rupture), 즉 물체가 조각나는 현상이다.

$$ \begin{align*} \sigma > \sigma_{UTS} \end{align*} $$

위 사진에 제시된 파괴 된 물체의 변형된 모습은 좌측에서 우측으로 갈 수록 물체가 연성(Ductile)에서 취성(Brittle)으로 바뀐다. 파단된 단면의 모양을 통해 특성을 알 수 있다.

강한 연성 재료 (좌측 물체): 폴리머, 은, 납 등
적정 연성 재료 (중앙 물체): 금속류
취성 재료 (우측 물체): 유리, 강철, 세라믹류

2.3.2. 연성 재료의 파괴¶

2.3.3. 취성 재료의 파괴¶

2.4. 피로 (Fatigue)¶

2.4.1. 피로 개념¶

피로(Fatigue)란?

피로(Fatigue)는 물체가 반복적인 응력 변화를 겪는 현상을 뜻한다.

$$ \begin{align*} \sigma_m = \frac{ \sigma_{max} + \sigma_{min} }{2} && \text{and} && \sigma_a = \frac{ \sigma_{max} - \sigma_{min} }{2} \end{align*} $$

$\sigma_m$은 평균 응력 $\text{[Pa]}$

$\sigma_a$는 응력 진폭 $\text{[Pa]}$

2.4.2. S-N 곡선 (S-N Curve)¶

S-N 곡선 (S-N Curve)

S-N 곡선(S-N Curve)은 반복적인 응력의 진폭에 따라 결정되는 파손까지의 물체의 생명 주기(Life Cycle)를 보여준다.

체심입방격자 구조의 연성 재료(예: 강철)는 피로한도(Fatigue Limit)가 있으며 무한한 피로를 주어도 일정 응력을 버틸 수 있다.

반면에, 면심입방격자 구조의 연성 재료(예: 알루미늄)는 그 한계치가 없으며 피로를 주면 줄 수록 항복 응력 기준이 낮아진다.

2.5. 크리프 (Creep)¶

크리프(Creep)란?

크리프(Creep)는 물체가 지속적인 정적 하중 받거나 뜨거운 환경에 노출된 시간이 경과함에 따라 분자단위로 미끄러져 생기는 소성 변형의 일종이다.

증가한 온도에 의한 크리프는 녹는점의 40%인 온도에서 발생한다.

크리프는 세단계에 걸쳐 발생한다.

1차 크리프(Primary Creep): 정적 응력에 의한 순간적 변형 이후 변형률 경화로 인해 변형 속도가 늦춰진다.
2차 크리프(Secondary Creep): 크리프 속도가 가장 느린 구간이며 길고 지속적인 속도로 진행된다.
3차 크리프(Tertiary Creep): 파단(Rupture) 직전인 상태이며 재료 구조의 결함이 늘어나며 변형 속도가 가속한다.

3. 변형체역학 (Deformable Body Mechanics)¶

3.1. 보의 분석 (Beam Analysis)¶

3.1.1. 보의 내력 (Internal Forces)¶

보의 내력 (Internal Forces)

보의 내력(Internal Forces)은 보에 힘이 가해질 때 보 내부에서 발생하는 저항하는 힘이다.

보에 하중(Loading, $w(x)$)이 실리면 그 힘에 저항하는 만큼 보의 내력이 발생한다. 이 내력은 전단력(Shear Force, $V(x)$)와 굽힘 모멘트(Bending Moment, $M(x)$)가 있다.

$$ \begin{align*} \frac{dV}{dx} = w(x) && \frac{dM}{dx} = V(x) \end{align*} $$

$w(x)$는 하중 함수 $\text{[N/m]}$

$V(x)$는 전단력 함수 $\text{[N]}$
$M(x)$는 굽힘 모멘트 함수 $\text{[N.m]}$

추가적으로, 보에 축력(Axial Force, $A(x)$)도 가해질 수 있다. 보의 축력은 열팽창($\delta_T = \alpha \Delta T L$)에 의해서 발생하는 경우도 존재한다.

3.1.2. 전단력 모멘트 선도 (Shear Moment Diagrams)¶

전단력 모멘트 선도 (Shear Moment Diagrams)

전단력 모멘트 선도(Shear Moment Diagrams)는 보 내부의 전단력과 휨모멘트를 그래프로 보여주어 보를 해석하는데에 도움을 준다.

전단력 모멘트 선도는 하중 요소들을 나눠 각각의 선도를 구한뒤 중첩(Superposition)이 가능하다. 또한, 점 하중 또는 점 돌림힘의 경우 각각의 점들로 보의 구간을 나눠 각각의 선도를 구해야 한다.

전단력 선도 (Shear Force Diagram, SFD)

전단력 선도(Shear Force Diagram, SFD)는 보 내부의 전단력의 변화 곡선을 보여주며 분산 하중 함수의 적분 함수로 표현된다.

$$ \begin{align*} V(x) = \int w(x) \; dx \end{align*} $$

전단력 함수의 경계 조건:

외팔보(Cantilever Beam)를 제외한 모든 보의 양끝 지점은 더이상 보가 존재하지 않기 때문에 $V(0) = V(L) = 0$ 이다.

모멘트 선도 (Bending Moment Diagram, BMD)

모멘트 선도(Bending Moment Diagram, BMD)는 보 내부의 굽힘 모멘트의 변화 곡선을 보여주며 전단력 함수의 적분 함수로 표현된다.

$$ \begin{align*} M(x) = \int V(x) \; dx \end{align*} $$

휨모멘트 함수의 경계 조건:

핀 지점의 경우 굽힘힘이 없기때문에 $M_{pin} = 0$ 이다.
외팔보(Cantilever Beam)의 경우 돌림힘을 부재(Support)하기 때문에 $M_{fixed} = M_o$ 이다.

3.1.3. 보의 처짐 (Deflection of Beam)¶

보의 처짐 (Deflection of Beam)

보의 처짐(Deflection of Beam)은 보에 하중이 실렸을때 형체가 하중의 방향대로 쏠리는 현상을 의미한다.

평행한 보의 처짐을 변위로 측정한 처짐량 함수는 $y(x)$ 이다. 그러므로 처짐량 함수를 미분하면 $\theta(x) = dy/dx$, 즉 기울기가 나온다. 보가 처질 때에 굽혀진 보의 모양은 일정한 반지름, $\rho$, 를 가지는 호(Arc)가 된다.

$$ \begin{align*} \frac{1}{\rho} = \frac{ \frac{d^2y}{dx^2} }{ \left[ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right]^{\frac{3}{2}} } \end{align*} $$

$\rho$는 곡선의 반지름 (Radius of Curvature) $\text{[m]}$

$dy/dx$는 처짐각 $\text{[rad]}$

하지만 보의 처짐각은 0에 수렴할 정도로 매우 작다고 가정하여 공식을 간편하게 곡선의 반지름 공식을 간편하게 바꿀 수 있다. 또한,

$$ \begin{align*} \frac{dy}{dx} \approx 0 && \therefore \; \frac{1}{\rho} = \frac{d^2y}{dx^2} \end{align*} $$

보의 처짐에 따른 곡선은 내부 휨모멘트와 관련이 있다.

$$ \begin{align*} \frac{1}{\rho} = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{M}{EI} \end{align*} $$

$E$는 탄성 계수 $\text{[MPa]}$

$I$는 관성모멘트 $[\text{kg}.\text{m}^2]$
$EI$는 굽힘 강성 (Bending Stiffness) $[\text{N}.\text{m}^2]$

직접 적분법 (Integration Method)

직접 적분법(Integration Method)은 기본적인 보의 처짐을 구하는 방법으로 미분방정식을 풀어나가며 구한다.

$$ \begin{align*} EI \frac{d^4y}{dx^4} &= w(x) \\ EI \frac{d^3y}{dx^3} &= V(x) = \int w(x) \; dx \\ EI \frac{d^2y}{dx^2} &= M(x) = \int V(x) \; dx \\ EI \frac{dy}{dx} &= EI \theta(x) = \int M(x) \; dx + C_1 \\ EIy(x) &= EI \int \theta(x) \; dx + C_2 \end{align*} $$

전단력과 휨모멘트는 보의 외력만으로 구할 수 있기 때문에 추가적인 상수를 구해줄 필요가 없지만 처짐각과 처짐량은 부재(Support)의 존재와 위치에 따라 경계 조건(Boundary Conditions) 또는 연속 조건(Continuity Conditions)이 형성되기 때문에 두 적분함수에 상수가 붙어있다.

위 표는 8가지 보 구조의 경계 및 연속 조건들을 표시한다.

추가적으로 처짐각이 0일시 처짐량이 극값이다.

$$ \begin{align*} \text{When} \quad \theta(c) = 0, \quad y(c) = \pm y_{max} \end{align*} $$

하중 종류에 따라 $V(x)$와 $M(x)$는 구간 별로 나뉜 불연속적인 함수 그래프를 가지지만 $\theta(x)$와 $y(x)$는 보 전체에서 연속적이므로 연속 조건(Continuity Conditions)를 가져야한다.

$$ \begin{align*} \theta_{A/B}(c) = \theta_{B/C}(c) && y_{A/B}(c) = y_{B/C}(c) \end{align*} $$

특이 함수법 (Singularity Function Method)

특이 함수법(Singularity Function Method)은, W. H. Macaulay가 고안한 분산 하중을 나타내는 함수로 보의 하중 같이 불연속한 함수를 쉽게 적분하기 위해 만들어졌다.

$$ \begin{align*} \text{For} \quad n \geq 0, \quad \langle x - a \rangle^n &= \begin{cases} 0 &\text{for} \; x < a \\ (x - a)^n &\text{for} \; x \geq a \end{cases} \\ \\ \int \langle x - a \rangle^n \; dx &= \frac{ \langle x - a \rangle^{n+1} }{ n + 1 } + C \end{align*} $$

점 하중, $P$, 와 돌림힘, $M_o$, 의 경우 특별한 표현이 존재한다.

$$ \begin{align*} w &= P \langle x - a \rangle^{-1} = \begin{cases} 0 &\text{for} \; x \not = a \\ P &\text{for} \; x = a \end{cases} \\ \\ w &= M_o \langle x - a \rangle^{-2} = \begin{cases} 0 &\text{for} \; x \not = a \\ M_o &\text{for} \; x = a \end{cases} \\ \\ \int \langle x - a \rangle^n \; dx &= \langle x - a \rangle^{n+1} \quad \text{for} \quad n = -1, -2 \end{align*} $$

3.2. 좌굴 (Buckling)¶

3.2.1. 좌굴 개념¶

3.2.2. 오일러 방정식 (Euler Equation)¶

3.3. 전단 흐름 (Shear Flow)¶

3.4. 보의 굽힘 (General Bending)¶

3.5. 응력과 변형률 변환 (Stress and Strain Transformation)¶

3.5.1. 응력 텐서 변환 개념¶

응력과 변형률 변환 (Stress and Strain Transformation)

응력 변환(Stress Transformation)은 다른 각도에서 자른 단면의 응력을 분석하고 주응력(Principal Stresses)를 계산하기 위해 쓰인다.

$$ \begin{align*} [\sigma'] = [Q][\sigma][Q]^T \end{align*} $$

$[\sigma']$는 기존 좌표계에서 변환된 응력 텐서

$[Q]$는 변환 텐서
$[\sigma]$는 기존 좌표계에 있는 응력 텐서

주응력 (Principal Stress)

주응력(Principal Stress)은 물체 내부의 특정 지점에서 발생하는 수직 응력의 최댓값과 최소값이다. 응력 텐서를 특성 방정식(Characteristic Equation)에 적용해 고윳값(Eigenvalue)를 구하면 주응력이 된다.

$$ \begin{align*} \det \left( [\sigma] - \sigma_p [I] \right) = 0 \end{align*} $$

$[\sigma]$는 응력 텐서

$\sigma_p$는 주응력 고윳값
$[I]$는 단위 행렬 (Identity Matrix)

주응력을 구하기 위해 3차원 행렬을 풀면,

$$ \begin{align*} \begin{vmatrix} \sigma_{xx} - \sigma_p & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} - \sigma_p & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} - \sigma_p \end{vmatrix} = 0 && \Longrightarrow && \sigma_p^3 - I_1 \sigma_p^2 + I_2 \sigma_p - I_3 = 0 \end{align*} $$

$I_1$, $I_2$, $I_3$는 응력 불변량

$$ \begin{align*} I_1 &= \sigma_{xx} + \sigma_{yy} + \sigma_{zz} \\ \\ I_2 &= \begin{vmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zz} \\ \end{vmatrix} \\ \\ I_3 &= \begin{vmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{vmatrix} \end{align*} $$

주응력만이 작용하는 주응력 텐서 속 전단 응려값은 모두 0이 된다.

$$ \begin{align*} \sigma_p = \begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_3 \end{bmatrix} \end{align*} $$

최대 전단 응력 (Maximum Shear Stress)

최대 전단 응력(Maximum Shear Stress)은 물체가 버틸 수 있는 가장 큰 전단 응력이다.

3.5.2. 2D 응력 텐서 분석¶

2D 응력 텐서 변환 (2D Stress Tensor Transformation)

$$ \begin{align*} [\sigma'] &= [Q][\sigma][Q]^T \\ \\ \begin{bmatrix} \sigma_{x'x'} & \sigma_{x'y'} \\ \sigma_{y'x'} & \sigma_{y'y'} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \end{align*} $$

평면 응력에 대한 모어의 원 (Mohr's Circle for Planar Stresses)

모어의 원(Mohr's Circle)은 응력 텐서의 변환값과 주응력 및 최대 전단 응력의 관계를 표현한 도식이다.

주응력, $\sigma_1$과 $\sigma_2$는 원이 $\sigma$축에 교차하는 지점에 있고 오른쪽 지점은 최댓값, 왼쪽 지점은 최소값이다. 최대 전단 응력은 원의 반지름인 $R$이다. 원의 중심은 $\sigma$축에 붙어있으며 원점에서 평균 응력값($\sigma_{ave}$)만큼 떨어져있다. 또한, 전단 응력 축은 아래쪽이 양의 방향이며 좌표계가 일정각도를 회전하면 모어의 원에서는 두 배($2 \theta$)를 회전한다.

$$ \begin{align*} \sigma_{ave} = \frac{ \sigma_x + \sigma_y }{2} && \tau_{max} = R = \sqrt{ \left( \frac{ \sigma_x - \sigma_y }{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2 } && \sigma_{1,2} = \sigma_{ave} \pm R \end{align*} $$

모어의 원의 축은 두 배로 돌기 때문에 최대 전단 응력값은 주응력 평면에서 90도, 즉 물체의 단면은 45도를 돌아야 구해진다.

3.5.3. 3D 응력 텐서 분석¶

3D 응력 텐서 변환 (3D Stress Tensor Transformation)

$$ \begin{align*} [\sigma'] &= [Q][\sigma][Q]^T \\ \\ \begin{bmatrix} \sigma_{x'x'} & \sigma_{x'y'} & \sigma_{x'z'} \\ \sigma_{y'x'} & \sigma_{y'y'} & \sigma_{y'z'} \\ \sigma_{z'y'} & \sigma_{z'y'} & \sigma_{z'z'} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \\ l_3 & m_3 & n_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zy} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l_1 & l_2 & l_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \\ n_1 & n_2 & n_3 \end{bmatrix} \\ \\ \text{where,} \quad [Q] &= \begin{Bmatrix} \vec{x}' \\ \vec{y}' \\ \vec{z}' \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^{-1} \alpha_{\vec{x}} & \cos^{-1} \beta_{\vec{x}} &\cos^{-1} \gamma_{\vec{x}} \\ \cos^{-1} \alpha_{\vec{y}} & \cos^{-1} \beta_{\vec{y}} & \cos^{-1} \gamma_{\vec{y}} \\ \cos^{-1} \alpha_{\vec{z}} & \cos^{-1} \beta_{\vec{z}} & \cos^{-1} \gamma_{\vec{z}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \\ l_3 & m_3 & n_3 \end{bmatrix} \end{align*} $$

원통 좌표계(Cylindrical Coordinates)로 변환

$$ \begin{align*} (x, y, z) \; \longrightarrow \; (r, \theta, z): \quad \begin{Bmatrix} r \\ \theta \\ z \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \sqrt{ x^2 + y^2 } \\ \tan^{-1} \left( \frac{y}{x} \right) \\ z \end{Bmatrix} && \therefore \; [Q] = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ - \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*} $$

구면 좌표계(Spherical Coordinates)로 변환

$$ \begin{align*} (x, y, z) \; \longrightarrow \; (r, \theta, \phi): \quad \begin{Bmatrix} r \\ \theta \\ \phi \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \sqrt{ x^2 + y^2 + z^2 } \\ \tan^-1 \left( \frac{ \sqrt{ x^2 + y^2 } }{z} \right) \\ \tan^{-1} \left( \frac{y}{z} \right) \end{Bmatrix} \\ \\ \therefore \; [Q] = \begin{bmatrix} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\ \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & - \sin \theta \\ - \sin \phi & \cos \phi & 0 \end{bmatrix} \end{align*} $$

3.5.4. 변형률 변환 개념¶

3.6. 파손 이론 (Failure Theory)¶

3.6.1. 파손 개념 (Failure)¶

파손(Failure)이란?

파손(Failure)은 물체가 탄성 변형의 한계를 넘어 소성 변형이 이루어져 영구적인 손상을 입게되는 현상이다.

$$ \begin{align*} \sigma > \sigma_Y \end{align*} $$

3.6.2. 안전 계수 (Safety Factor)¶

안전 계수 (Safety Factor)

안전 계수(Safety Factor)는 물체가 파손이 일어나기 전 허용 응력의 한계치를 일정 비율로 낮춰 더욱 안전한 설계를 할 수 있도록 도와주는 수치이다.

$$ \begin{align*} SF = \frac{\sigma_Y}{\sigma_{eff}} = \frac{F_Y}{F_{eff}} \geq 1 \end{align*} $$

$SF$는 안전 계수

$\sigma_Y$는 항복 응력 $\text{[Pa]}$
$\sigma_{eff}$는 허용 응력 $\text{[Pa]}$
$F_Y$는 항복 하중 $\text{[N]}$
$F_{eff}$는 허용 하중 $\text{[N]}$

안전 계수는 1보다 크거나 같아야하며 여러 요인들로 그 값이 정해진다.

$$ \begin{align*} SF = SF_m \cdot SF_s \cdot SF_g \cdot SF_f \cdot SF_r \end{align*} $$

$SF_m$은 물성치를 잘 알고 있는지에 대한 요인 (Material)

$SF_s$은 응력 발생 원인을 잘 알고 있는지에 대한 요인 (Stress)
$SF_g$는 공차(Tolerance)가 잘 맞는지에 대한 요인 (Geometry)
$SF_f$는 파손을 잘 예측했는지에 대한 요인 (Failure)
$SF_r$은 신뢰도의 수치에 따른 요인 (Reliability)

3.6.3. 연성재료 정적 파손 조건 (Static Failure Criteria)¶

정적 파손 조건 (Static Failure Criteria)

정적 파손 조건(Static Failure Criteria)은 물체가 한번에 받는 응력에 대응하는 파손 조건이다.

최대 전단 응력 이론 (Tresca's Maximum Shear Stress Theory)

최대 전단 응력 이론(Tresca's Maximum Shear Stress Theory) 또는 Tresca 항복 조건(Tresca's Yield Criterion)은 연성 물질의 최대 전단 응력이 항복 응력을 넘어설 때 파손이 일어난다고 설명한다.

$$ \begin{align*} \tau_{max} = \max \left( \frac{ \vert \sigma_1 - \sigma_2 \vert }{2}, \frac{ \vert \sigma_2 - \sigma_3 \vert }{2}, \frac{ \vert \sigma_3 - \sigma_1 \vert }{2} \right) < \frac{\sigma_Y}{2} \end{align*} $$

위 그래프에서 파란색을 띄는 영역이며 von Mises 항복 조건 보다는 더 보수적이다.

전단 변형 에너지 이론 (von Mises's Maximum Distortion Energy Theory)

전단 변형 에너지 이론(von Mises's Maximum Distortion Energy Theory) 또는 von Mises 항복 조건(von Mises's Yield Criterion)은 연성 물질의 변형 에너지가 수직 인장 실험에서의 최대 변형 에너지를 넘어설때 항복한다고 설명한다.

$$ \begin{align*} \sigma_{von} &= \sqrt{ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2 - \left( \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_2 \sigma_3 + \sigma_3 \sigma_1 \right) } \\ &= \sqrt{ \frac{1}{2} \left[ \left( \sigma_{xx} - \sigma_{yy} \right)^2 + \left( \sigma_{yy} - \sigma_{zz} \right)^2 + \left( \sigma_{zz} - \sigma_{xx} \right)^2 + 6 \left( \tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2 \right) \right] } < \sigma_Y \end{align*} $$

위 그래프에서 빨간색을 띄는 영역이며 Tresca 항복 조건보다 더 정확하다고 알려져있지만 보수적이지 않기 때문에 실제 설계에선 잘 안쓰인다.

3.6.4. 연성재료 피로 파손 조건 (Fatigue Failure Criteria)¶

피로 파손 조건 (Fatigue Failure Criteria)

피로 파손 조건(Fatigue Failure Criteria)은 연성 물체가 지속적으로 또는 반복적으로 변화하는 응력에 대응하는 파손 조건이다.

3.6.5. 취성재료 정적 파손 조건 (Static Failure Criteria)¶

3.7. 응력과 변형률 고급 (Advanced Stress and Strain)¶

3.7.1. 변형에너지 (Strain Energy)¶

변형에너지 (Strain Energy)

변형에너지(Strain Energy)는 선형 탄성(Linear Elastic)인 구조물이 외력을 받아 변형되면 후크의 법칙(Hooke's Law)에 따라 스프링처럼 이동한 미소 거리만큼 외력이 가상 일(Virtual Work)을 하여 발생한 에너지이다.

축력(Axial Load)에 의한 변형에너지:

$$ \begin{align*} U = \int_0^L \frac{ [P(x)]^2 }{ 2EA } dx \end{align*} $$

굽힘 모멘트(Bending Moment)에 의한 변형에너지:

$$ \begin{align*} U = \int_0^L \frac{ [M(x)]^2 }{ 2EI } dx \end{align*} $$

비틀림(Torsion)에 의한 변형에너지:

$$ \begin{align*} U = \int_0^L \frac{ [T(x)]^2 }{ 2GJ } dx \end{align*} $$

3.7.2. 탄성 이론 (Theory of Elasticity)¶

탄성 이론 (Theory of Elasticity)

탄성 이론(Theory of Elasticity)에서 물체의 변형 문제를 풀기 위해서 18개의 연립미분방정식들을 풀어야한다.

평형 방정식 (Equilibrium Equations):

$$ \begin{align*} \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial z} + F_{xx} = 0 \\ \\ \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial z} + F_{yy} = 0 \\ \\ \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} + F_{zz} = 0 \end{align*} $$

응력-변형률 관계식 (Stress-Strain Relations):

$$ \begin{align*} \varepsilon_{xx} = \frac{1}{E} \left[\sigma_{xx} - \nu (\sigma_{yy} + \sigma_{zz}) \right] && \gamma_{xy} &= \frac{\tau_{xy}}{G} \\ \\ \varepsilon_{yy} = \frac{1}{E} \left[\sigma_{yy} - \nu (\sigma_{xx} + \sigma_{zz}) \right] && \gamma_{yz} &= \frac{\tau_{yz}}{G} \\ \\ \varepsilon_{zz} = \frac{1}{E} \left[\sigma_{zz} - \nu (\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) \right] && \gamma_{zx} &= \frac{\tau_{zx}}{G} \end{align*} $$

열변형률 (Thermal Strain)

$$ \begin{align*} \epsilon_t = \alpha T \end{align*} $$

변형률-변위 관계식 (Strain-Displacement Relations):

$$ \begin{align*} \epsilon_{xx} = \frac{\partial u}{\partial x} && \epsilon_{yy} = \frac{\partial v}{\partial y} && \epsilon_{zz} = \frac{\partial w}{\partial z} \\ \\ \gamma_{xy} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} && \gamma_{yz} = \frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y} && \gamma_{zx} = \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z} \end{align*} $$

적합 방정식 (Compatibility Equations):

$$ \begin{align*} \frac{\partial^2 \epsilon_{xx}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \epsilon_{yy}}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y} \\ \\ \frac{\partial^2 \epsilon_{yy}}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \epsilon_{zz}}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{yz}}{\partial y \partial z} \\ \\ \frac{\partial^2 \epsilon_{zz}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \epsilon_{xx}}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{zx}}{\partial z \partial x} \end{align*} $$

에어리 응력 함수 (Airy's Stress Function)

에어리 응력 함수(Airy's Stress Function)는 2차원 탄성 문제에 있어서 이중화음(Biharmonic) 조건을 만들어서 응력 계산을 쉽게 만든다.

응력 함수의 표현:

$$ \begin{align*} \sigma_{xx} = \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} && \sigma_{yy} = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} && \sigma_{xy} = - \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} \end{align*} $$

이중화음 방정식 (Biharmonic Equation):

$$ \begin{align*} \nabla^4 \phi = 0 && \Longrightarrow && \nabla^2 \nabla^2 \phi = 0 \\ \\ \frac{\partial^4 \phi}{\partial x^4} + 2 \frac{\partial ^4 \phi}{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial^4 \phi}{\partial y^4} = 0 && \Longrightarrow && \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) \phi = 0 \end{align*} $$

3.8. 에너지법 (Energy Method)¶

3.8.1. 카스틸리아노의 정리 (Castigliano's Theorem)¶

카스틸리아노의 정리 (Castigliano's Theorem)

카스틸리아노의 정리(Castigliano's Theorem)는 중첩의 원리가 적용되는 선형탄성계에서 변형에너지로부터 변워(Displacement)나 하중(Load)을 구하는 방법을 제공한 정리이다.

카스틸리아노의 제1정리:

어떠한 탄성 구조물의 변형에너지를 변위 함수로 편미분한 값은 하중과 같다,

$$ \begin{align*} P_i = \frac{\partial U}{\partial \delta_i} \quad \text{for} \quad i = 1, 2, 3, ..., n \end{align*} $$

카스틸리아노의 제2정리:

어떠한 탄성 구조물의 변형에너지를 하중 함수로 편미분한 값은 변위 같다,

$$ \begin{align*} \delta_i = \frac{\partial U}{\partial P_i} \quad \text{for} \quad i = 1, 2, 3, ..., n \end{align*} $$

카스틸리아노의 정리는 단순형태의 보가 아닌 구조물의 처짐을 구할 수 있으나 구조물 지점의 침하나 온도 변화 등에 따른 처짐 계산에는 사용될 수 없다.

적용 예:

외팔보 끝자락에 집중 하중, $P$가 작용한다. $$ \begin{align*} U = \int_0^L \frac{ [M(x)]^2 }{ 2EI } dx = \int_0^L \frac{ (- P x)^2 }{ 2EI } dx = \frac{ P^2 L^3 }{ 6EI } \\ \\ \therefore \quad \delta = \frac{\partial U}{\partial P} = \frac{ P L^3 }{ 3EI } \end{align*} $$

3.8.2. 단위하중법 (Unit Load Method)¶

단위하중법 (Unit Load Method)

단위하중법(Unit Load Method)은 가상 일의 원리를 이용하여 계산하고자 하는 변위의 방향과 위치에 단위 하중(크기가 1인 하중)을 가해 변위를 구한다.

$$ \begin{align*} \delta_i = \frac{\partial U}{\partial P} = \frac{\partial}{\partial P_i} \left[ \int \frac{ [M(x)]^2 }{ 2EI } dx \right] = \int \frac{M}{EI} \frac{\partial M}{\partial P_i} dx \end{align*} $$

4. 유한요소해석 (Finite Element Analysis)¶